И подскажите пожалуйста на какое время может затянуться этот процесс?

Мать жива и не лишена родительских прав. Да, гражданский муж является биологическим отцом, в свидетельство о рождении вписан, отцовство установленно

Ольга, спасибо за уточнение.

В ст. 18 Федерального закона от 26.02.1997 N 31-ФЗ (ред. от 14.07.2022) «О мобилизационной подготовке и мобилизации в Российской Федерации» говорится, что:

1. Отсрочка от призыва на военную службу по мобилизации предоставляется гражданам:
…
4) имеющим на иждивении четырех и более детей в возрасте до 16 лет или имеющим на иждивении и воспитывающим без матери одного ребенка и более в возрасте до 16 лет (гражданам женского пола, имеющим одного ребенка и более в возрасте до 16 лет, а также в случае беременности, срок которой составляет не менее 22 недель);

http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_13454/25fbd4e34ce45ed1b914188bace31872ee4df5da/

Под «воспитывающим без матери» подразумевается, что мать ребёнка умерла или лишена родительских прав, и отец в связи с этим является единственным родителем, воспитывающим ребёнка. 

Опека же устанавливается над теми детьми, которые остались без попечения родителей. То есть, когда оба родителя ребёнка по ряду причин, указанных в законе не могут воспитывать и содержать ребёнка.

Например, мама умерла, папа лишён родительских прав, дети находятся под опекой бабушки.

Исходя из вышесказанного, отвечу на Ваш вопрос:

что нужно сделать, куда обратится и какие нужны документы что бы сделать опекунство на дочь (4месяца) гражданскому мужу и получить отсрочку от мобилизации

Отец не может быть опекуном родной дочери, так как он по смыслу закона является её родителем. 

Если мама девочки жива, не лишена родительских прав, то у её отца нет права на отсрочку от призыва на военную службу по мобилизации.

С Уважением, юрист Наталия Морозова