Могу ли я оформить данный уход за бабушкой официально при условии, что у неё все таки есть сын?

Если есть сын, то внуку не получить отсрочку по этому основанию. Поскольку есть более близкие родственники на которых в силу закона лежит прямая обязанность содержать и заботиться.  

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН РФ от 26 февраля 1997 года N 31-ФЗ (с изм. на 14 07 2022 г.)

О МОБИЛИЗАЦИОННОЙ ПОДГОТОВКЕ И МОБИЛИЗАЦИИ В РФ 

Статья 18. Отсрочка от призыва на военную службу по мобилизации 

1. Отсрочка от призыва на военную службу по мобилизации предоставляется гражданам: 

1) забронированным в порядке, определяемом Правительством Российской Федерации; 

2) признанным временно не годными к военной службе по состоянию здоровья — на срок до шести месяцев; 

3) занятым постоянным уходом за отцом, матерью, женой, мужем, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, нуждающимися по состоянию здоровья в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы в постороннем постоянном уходе (помощи, надзоре) либо являющимися инвалидами I группы, при отсутствии других лиц, обязанных по закону содержать указанных граждан;