Здравствуйте, Илья.
Опека или попечительство по общему правилу не требуется, Вы правильно понимаете.
Лучше зарегистрироваться по одному месту жительства с матерью.
Свидетельство о рождении еще Ваше потребуется.
Принесете справку об инвалидности матери и выписку из домовой книги в военкомат в подтверждение Вашего права на отсрочку.
Плюс возьмите в соц.защите справку о том, что они не осуществляют уход за Вашей матерью.
Как вариант, обратиться за справкой в соц.защиту с просьбой составить акт о проживании Вас с матерью в одном и доме и осуществления Вами ухода за ней.
Право на отсрочку у Вас будет по следующей норме права
Федеральный закон от 26.02.1997 N 31-ФЗ
(ред. от 14.07.2022)
«О мобилизационной подготовке и мобилизации в Российской Федерации»
Статья 18. Отсрочка от призыва на военную службу по мобилизации
1. Отсрочка от призыва на военную службу по мобилизации предоставляется гражданам:
3) занятым постоянным уходом за отцом, матерью, женой, мужем, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, нуждающимися по состоянию здоровья в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы в постороннем постоянном уходе (помощи, надзоре) либо являющимися инвалидами I группы, при отсутствии других лиц, обязанных по закону содержать указанных граждан;
С уважением! Г.А. Кураев
Отец не обязан ее содержать, они разведены.