А также подскажите на какие пособия смогу претендовать, если начну сама платить взносы в ФСС?

Добрый вечер!

Поскольку Вы работаете по гражданско-правовому договору, у Вас возникают не трудовое, а гражданские правоотношения. Следовательно, в настоящий момент Вы не являетесь застрахованным лицом по обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством и поэтому получить пособие по беременности и родам не сможете. 

Данное пособие выплачивается исключительно работникам, за которых работодатель вносит страховые взносы в ФСС РФ, а также лицам имеющим статус безработных.

 
Как итог возможен вариант — встать на учет в качестве безработного, тогда получите право на пособие (Получить пособие при рождении ребенка и  ежемесячное пособие по уходу за ребенком до полутора лет можно будет обратившись в соцзащиту).

Если вы оформитесь, как самозанятая и будете платить налоги, то 

Если на момент возникновения права на это пособие самозанятая является ИП и зарегистрирована в ФСС в качестве «добровольца», то пособие будет платить ФСС.