Развод, есть ребёнок менее трёх лет, мать гуляет, как правильно поступить?

СК РФ Статья 65. Осуществление родительских прав
 

 
2. Все вопросы, касающиеся воспитания и образования детей, решаются родителями по их взаимному согласию исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. Родители (один из них) при наличии разногласий между ними вправе обратиться за разрешением этих разногласий в орган опеки и попечительства или в суд.

 
3. Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей.

Как и в любую другую ситуацию, данный вопрос сначало надо попытаться урегулировать мирно.

То есть если она не хочет толком заниматься ребенком или вообще им заниматься, то заключите соглашение о проживании ребенка. Вы пишите, что ребенку 3 года. В принципе он уже вышел из грудного возраста, когда в первую очередь нужна именно мать, однако учитывайте особенности и индивидуальные потребности ребенка при решении данного вопроса. Если к соглашению не придете, то обращайтесь в суд по данному поводу, однако в суде при помощи доказательств ( свидетельских показаний, переписки) надо доказать то, на что вы ссылаетесь, а именно что проживание с матерью ребенку менее полезно чем с отцом.

«Обзор практики разрешения судами споров, связанных с воспитанием детей» (утв. Президиумом Верховного Суда РФ 20.07.2011)

В п. 5 постановления Пленума Верховного Суда РФ от 27 мая 1998 г. N 10 с учетом положений п. 3 ст. 65 СК РФ разъяснено, какие обстоятельства необходимо учитывать при разрешении спора об определении места жительства несовершеннолетнего ребенка. К таким обстоятельствам относятся: привязанность ребенка к каждому из родителей, братьям и сестрам; возраст ребенка; нравственные и иные личные качества родителей; отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком; возможность создания ребенку условий для воспитания и развития (с учетом рода деятельности, режима работы родителей, их материального и семейного положения, состояния здоровья родителей); другие обстоятельства, характеризующие обстановку, которая сложилась в месте проживания каждого из родителей. При этом в постановлении Пленума особо подчеркнуто, что само по себе преимущество в материально-бытовом положении одного из родителей не может являться безусловным основанием для удовлетворения требования этого родителя об определении места жительства ребенка

Обзор  конечно не новый, однако критерии, которым родители должны соответствовать, чтоб суд принять решение в их пользу до сих пор те же. Суд должен по отдельности оценить личность  матери и отца, их образ жизни, нравственные качества и прочее.

Если не договоритесь, подавайте иск в районный суд, собирайте доказательства, характериризующие отца и мать  Дальше решит суд.