Добрый вечер, скажите пожалуйста, может мать уехать с ребёнком до трёх лет без разрешения отца?

Разрешение не нужно, если поездка по России.

Если ребенок выезжает с одним из родителей за границу, то согласия второго не нужно. Отец лишь может заявить о несогласии на выезд.

Согласно ст.20 ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию» Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств), которое (которые) он намерен посетить.
Желаю удачи!