Вопрос: Какие справки могли бы послужить основанием для перевода?

Здравствуйте, в рассматриваемом случае, полагаю, решение будет приниматься Вашим командованием, так как основания, перечисленные в статье 15 Указа Президента РФ от 16.09.1999 N 1237 «Вопросы прохождения военной службы» определяют возможность перевода по личным обстоятельствам только в следующих случаях

б) при необходимости постоянного ухода за проживающими отдельно отцом, матерью, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, не находящимися на полном государственном обеспечении и нуждающимися в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы по их месту жительства в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре).

а) при невозможности проживания членов семьи военнослужащего… в данной местности в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии;

с полным содержанием приведенной нормы Вы можете ознакомиться по приведенной ссылке:

https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_24400/1a0a6a80014c9e151f6ed69e779dd10774f76614/

Так, в указанной правовой норме нет упоминания родственной связи «теща», так как она не является Вашим близким родственником. Таким образом, полагаю, что в Вашем случае не усматривается обстоятельств, дающих гарантию на перевод, которые могут быть подтверждены справками. Однако, Вы можете официально попросить разрешение у своего командира части обратиться к вышестоящему командованию по личному вопросу.  

Дополнительно, Вы можете оформить в вч Сахалина «отношение», стандартная форма отношения определена  Приказом МО РФ №660, 2015 года, в приложении № 5.