Подскажите, происходит ли в этом случае обмен информацией между странами или нам надо самим уведомить российский ЗАГС об изменившемся статусе?

Здравствуйте, Марат!

Лучше всё же обратиться в загс по месту жительства в РФ и легализовать ваш брак в РФ.

 Согласно ст.158 СК РФ браки, заключенные за пределами территории РФ между:
·   гражданами РФ;
·   гражданами Российской Федерации и иностранными гражданами;
·   гражданами РФ и лицами без гражданства
Признаются действительными, если соблюдены требования законодательства, на территории которого заключен брак и соблюдены требования ст.14 СК РФ.
Брак, заключенный за пределами РФ, с соблюдением требований законодательства, на территории которого он заключен, признается действительным в РФ, если отсутствуют предусмотренные ст.14 СК РФ  обстоятельства, препятствующие заключению брака. Это прямо указано в ст.158 СК РФ.
 Как таковой процедуры признания брака не существует, и проходить её не требуется, но надо легализовать документ о заключении брака, то есть пройти процедуру для признания документа действительным в России.
 При легализации документов основное значение имеет то, в какой стране был заключен брак, так как действуют правила международных конвенций, а также межгосударственные договоры.
Чаще всего применяется Гаагская конвенция 1961 года, которая отменяет легализацию для стран — участниц конвенции, заменяя проставлением апостиля. В этом случае надо будет перевести апостилированный документ, в том числе и сам апостиль, и нотариально заверить.
 В том случае, если страна, в которой зарегистрирован брак, не участвует в конвенции, то необходимо будет пройти консульскую легализацию.
В отношении стран СНГ, подписавших Минскую конвенция 1993 года, действует норма, согласно которой требуется только нотариально заверенный перевод на русский язык.
  Кроме того, может быть заключен договор о признании документов между РФ и государством, где был заключён брак, который также предусматривает документы. В этом случае необходимо руководствоваться положениями договора.