Мне 16 лет, учусь в другом городе и живу в студенческом общежитии, могу ли я выселиться с общежития и жить на съемной квартире?

В целом да (согласно ст 26 ГК РФ),  однако, согласно законодательству вам нужно письменное согласие родителей, но обычно, конечно, не требуют . 

Здравствуйте!
Да, аренда жилья несовершеннолетним возможна, но только с согласия родителей. Я предполагаю, что в вашей ситуации аренда квартиры будет на длительный срок. В таком случае необходимо составление трехстороннего договора аренды жилого помещения, в котором будет прописано, что арендные платежи будут осуществляться родителями в установленный сторонами срок, а проживающий (то есть Вы) обязан будет бережно относиться к имуществу арендодателя. Трехсторонний договор аренды составляется в 3 экземплярах, по 1 на каждую из сторон. Однако, право подписи имеют только ваши родители. 
Самостоятельно снять квартиру Вы сможете только по достижению 18 лет, либо можно пройти процедуру эмансипации и стать дееспособным в 16 лет. При этом нужно учесть нюансы наступления полной дееспособности до достижения 18-летнего возраста (процедура эмансипации).