Пропишусь в другом месте долг уйдёт со мной?

Согласно ст. 249 ГК РФ каждый участник долевой собственности

обязан соразмерно своей доле участвовать в уплате налогов, сборов и иных платежей по общему имуществу, а также в издержках по его содержанию и сохранению.

На основании ч. 3 ст. 30 ЖК РФ собственник жилого помещения несет

бремя содержания данного помещения и, если данное помещение является квартирой, общего имущества собственников помещений в МКД

Прописка в другом месте снятие с вас долга по коммунальным платежам не разрешит, задолженность взыскивается с собственника помещения.