Можно доказать, что страховая действует незаконно?

Исходя из представленного Вами документа страховым риском по договору, на случай наступления которого он был заключен называется

1.1. «Временная нетрудоспособность в результате заболевания»; 

1.2. «Временная нетрудоспособность в результате несчастного случая»;
1.3. «Госпитализация в результате несчастного случая»;

Вы подключены к о Программе страхования № 10 «Защита жизни и здоровья заемщика», которой в силу требований ст. 942 и 943 ГК РФ должны быть определены условия выплаты страхового возмещения, а также перечень событий, признаваемых страховой компанией страховыми случаями.

У Вас имело место заболевание переконорит, поэтому выплата страхового возмещения должна осуществляться по риску 

1.1. «Временная нетрудоспособность в результате заболевания»; 

Согласно условиям программы — sberbank-insurance.ru/upload/05/05ebdcbcbc02983e55fa8d58a10dd0d0.pdf

3.2. Страховые риски и страховые случаи по Договору страхования:

3.2.1. Непрерывная временная утрата Застрахованным лицом способности осуществлять трудовую или иную деятельность по медицинским показаниям (Временное расстройство здоровья для неработающего Застрахованного лица) на срок не менее 15 календарных дней, начавшаяся в течение срока страхования в результате заболевания, диагностированного в течение срока страхования (страховой риск - «Временная нетрудоспособность в результате заболевания»).Страховым случаем с учетом определений и исключений из страхования, установленных настоящими Условиями, является непрерывная Временная нетрудоспособность Застрахованного лица (непрерывное временное расстройство здоровья для неработающего Застрахованного лица) на срок не менее 15 календарных дней, начавшаяся в течение Срока страхования в результате заболевания, диагностированного в течение Срока страхования;

Таким образом, страховая компания отказывает Вам вполне обоснованно, поскольку по Вашему риску страховым случаем как раз и является нахождение на больничном в течении 15 дней и более в связи с перенесенным заболеванием.

Обоснованность отказа связана с тем, что в силу ст. 942 ГК РФ

2. При заключении договора личного страхования между страхователем и страховщиком должно быть достигнуто соглашение:
2) о характере события, на случай наступления которого в жизни застрахованного лица осуществляется страхование (страхового случая);

И в этой связи договором может быть определен перечень случаев, которые являются страховыми, а также перечень случаев, которые к их числу не относится.

В этой связи, поскольку продолжительность Вашей нетрудоспособности была менее 15 дней — отказ в выплате является обоснованным.