И выдадут ли мне их при регистрации ТС?

Поскольку у Вас договор лизинга не погашен,а автомобиль не выкуплен — то право собственности на него осталось за лизингодателем, что прямо следует из ст. 11 ФЗ  от 29.10.1998 N 164-ФЗ «О финансовой аренде (лизинге)».

Таким образом, смена собственника не произошла, то формально у Вас не было необходимости в перерегистрации транспортного средства.

И тут нужно было исходить из того, что согласно ст. 17 ФЗ от 03.08.2018 N 283-ФЗ «О государственной регистрации транспортных средств в Российской Федерации и о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации»

транспортные средства, приобретенные в лизинг находятся на государственном учете на ограниченном сроке.

Учет его осуществляется на все время действия договора лизинга

В Постановление Правительства РФ от 21.12.2019 N 1764 «О государственной регистрации транспортных средств в регистрационных подразделениях Государственной инспекции безопасности дорожного движения Министерства внутренних дел Российской Федерации»

35. Постановка транспортных средств на государственный учет на ограниченный срок осуществляется в случаях, если:
транспортное средство является предметом договора лизинга или договора сублизинга, — на срок действия договора лизинга или договора сублизинга;

Продление действия договора лизинга предполагает и продление действия регистрационного учета.

Однако, поскольку Вы не произвели продление государственной регистрации, то на следующий день после окончания договора лизинга она автоматически закончилась.

Согласно названному постановлению Правительства РФ

60. Прекращение государственного учета транспортного средства в связи с истечением срока государственного учета транспортного средства,  осуществляется в порядке, предусмотренном пунктом 36 настоящих Правил.

36. Государственный учет транспортного средства, зарегистрированного на ограниченный срок, при отсутствии сведений о его возобновлении прекращается автоматически на следующий день после даты окончания этого срока.

В этой связи номерные знаки данного транспортного средства признаны недействительными.

61. При прекращении государственного учета транспортного средства в соответствии с пунктами 56, 58 — 60 настоящих Правил, государственные регистрационные знаки, за исключением принятых регистрационными подразделениями на сохранение, и регистрационные документы признаются недействительными и вносятся регистрационным подразделением в соответствующие разыскные учеты утраченной специальной продукции Госавтоинспекции.

Сейчас при обращении с заявлением о восстановлении регистрационного учета, Вам будет выдано новое свидетельство о регистрации и новые номерные знаки.

66. Возобновление государственного учета транспортного средства, прекращенного в соответствии с пунктом 60 настоящих Правил, при отсутствии перехода права собственности на него осуществляется за владельцем транспортного средства, сведения о котором содержатся в государственном реестре транспортных средств, в порядке, предусмотренном абзацем первым пункта 63 настоящих Правил, а для транспортных средств, прекращение государственного учета которых осуществлено в связи с истечением срока государственного учета, дополнительно представляются документы, устанавливающие основания для продления срока регистрации.
67. Возобновление государственного учета транспортного средства производится регистрационным подразделением по месту обращения владельца транспортного средства с выдачей нового регистрационного документа.

Таким образом, для целей возобновления учета транспортного средства Вам нужно предоставить дополнительное соглашение о продлении действия договора лизинга и регистрационный учет будет возобновлен на новый срок.

При этом как уже сказал, Вам будет выдано новое свидетельство о регистрации и оформлены новые регистрационные знаки.

Чтобы сохранить номера, собственник должен  подать в ГИБДД заявление о сохранении за автомобилем предшествующих номеров. В этом случае номера будут сохранены.

 Это нужно было делать до их изъятия.

А в данном случае, поскольку в ГИБДД отсутствовали данные о продлении договора лизинга, в отношении автомобиля была прекращена государственная регистрация и номера помещены на разыскные учеты.

Постановление Правительства РФ от 21.12.2019 N 1764 на этот счет указывает, что 

60. Прекращение государственного учета транспортного средства в связи с истечением срока государственного учета транспортного средства,  осуществляется в порядке, предусмотренном пунктом 36 настоящих Правил.
61. При прекращении государственного учета транспортного средства в соответствии с пунктами 56, 58 — 60 настоящих Правил, государственные регистрационные знаки, за исключением принятых регистрационными подразделениями на сохранение, и регистрационные документыпризнаются недействительными и вносятся регистрационным подразделением в соответствующие разыскные учеты утраченной специальной продукции Госавтоинспекции.

Исходя из данного положения и следует, что подавать заявление о сохранении номерных знаков следовало заблаговременно, а не дожидаться их изъятия в связи с признанием недействительными.