Ставит эту отметку военкомат или МВД?

Добрый день! 

Вы вправе потребовать проставить этот штамп в военном комиссариате или в органе МВД, в котором Вы сдали свой паспорт.

Ссылаться нужно на Постановление Правительства от 8 июля 1997 г. N 828, кторым  утверждено  ПОЛОЖЕНИЕ

О ПАСПОРТЕ ГРАЖДАНИНА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ, согластно которому

 5. В паспорте производятся отметки:

об отношении к воинской обязанности граждан, достигших 18-летнего возраста, — соответствующими военными комиссариатами и территориальными органами Министерства внутренних дел Российской Федерации;