И надо ли при этом прописываться в другой квартире?

Конечно при продаже необходиио сняться с регучета продаваемой квартиры и зарегистрироваться по другому адресу… Иначе квартира приобретается с посторонним зарегистрированным человеком… Который имеет право проживания в данной квартире

Это вам договариваться с новыми собственниками надо. Если они согласны чтобы вы там остались прописанными,  то можно остаться на какой то период. 

Добрый день Николай

Прописанные в жилом помещении граждане претендовать на право собственности не могут в связи с тем, что право собственности приобретается в силу статьи 128 Гражданского кодекса Российской Федерации при совершении сделок и при создании вещи.

Хоть прописка не влияет на право собственности, но это неофициально считается обременением имущества, и покупая квартиру новый собственник часто все же против того что бы в квартире были прописаны чужие люди, и он имеет право через суд выписать старых жильцов, если добровольно люди не выписываются.

И надо ли при этом прописываться в другой квартире?

Надо прописывать в в другой квартире.

Можно сделать временную регистрацию, можно постоянную, но это сделать Вы обязаны.покидая рагион больше чем на 90 дней, по закону вы обязаны оформить временную регистрацию. Это прописано в ч.2 Постановления Правительства РФ от 17.07.1995 N 713  «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня лиц, ответственных за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации»

В любом случае Вы должны иметь временную либо постоянную регистрацию или и то и другое если Вы периехали в другой регион и прибываете там больше 90 дней.