Есть ли у них какие то права на прописку в квартиру?

Добрый день.

Нет, права на регистрацию по месту жительства временная регистрация не дает, поскольку это регистрация по месту пребывания ( то есть там где человек не живет, а только временно проживает, в частности  гостиница, санаторий, дом отдыха, пансионат, кемпинг, туристская база, медицинская организация или другое подобное учреждение).

В силу ст. 2 Закона  «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации» от 25.06.1993 N 5242-1

регистрация гражданина Российской Федерации по месту пребывания — постановка гражданина Российской Федерации на регистрационный учет по месту пребывания, то есть фиксация в установленном порядке органом регистрационного учета сведений о месте пребывания гражданина Российской Федерации и о его нахождении в данном месте пребывания

Ссылка

www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_2255/6af7b9fea46ae480b3af356b520b0361d6f50772/

Поэтому никаких прав кроме временного пребывания в жилом помещении это не даст.

данная регистрация без Вашего желания не может трансформироваться в постоянную регистрацию по месту жительства

Здравствуйте!

С учётом требований Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, утвержденных Постановлением Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и...», п. 16, мама с ребенком изменившие место жительства, обязаны не позднее 7 дней со дня прибытия на новое место жительства (к вам), обратиться к лицам, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, указанных в данном пункте.

Вопрос регулируется также Законом РФ от 25.06.1993 N 5242-1 «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации», ст. 2.

Маме потребуется ваше письменное согласие каки собственника жилого помещения (договор) обязательно. Что касается ребенка, то до 14 лет к родителю (маме), мама сможет зарегистрировать ребенка без вашего согласия. 

С уважением.

Здравствуйте. 

Можете не переживать, так называемая «временная регистрация» на то и временная, что прекращается в момент ее истечения и с этого момента все права пользования жилым помещением прекращаются. 

Граждане, прибывшие для временного проживания в жилых помещениях, не являющихся их местом жительства, на срок более чем 90 дней, обязаны до истечения указанного срока обратиться к лицам, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, и представить...

Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 

Права на постоянную регистрацию это не дает, она возможна исключительна в рамках отдельной процедуры и только с Вашего разрешения. То же касается ребенка.