Здравствуйте, Григорий!
с 15 мая 2023 г. без оформления виз въезд могут осуществлять граждане Грузии на основании действительных документов, удостоверяющих их личность. За исключением граждан въезжающих для осуществления трудовой деятельности либо на срок более 90 дней для временного пребывания в Российской Федерации, в том числе в целях получения образования.
Указа Президента РФ от 10 мая 2023 г. N 335 по ссылке http://publication.pravo.gov.ru/Document/View/0001202305100004
То-есть для пребывания гражданам Грузии на территории РФ свыше 90 дней необходимо получение визы.
Иностранные граждане, постоянно проживающие на территории РФ, вправе обратиться с заявлениями о приеме в гражданство в упрощенном порядке
в) имеют дееспособных сына или дочь, достигших возраста восемнадцати лет и являющихся гражданами Российской Федерации;
ст.14 Федеральный закон от 31 мая 2002 г. N 62-ФЗ
Постоянно проживающий в РФ иностранец это лицо, получившее вид на жительство.
Без получения разрешения на временное проживание вид на жительство выдается иностранцу, имеющему сына или дочь, состоящих в гражданстве Российской Федерации и постоянно проживающих в Российской Федерации (ст.8 Федеральный закон от 25.07.2002 N 115-ФЗ).
Как все-таки правильно поступить моей матери, чтобы законно въехать в РФ, остаться там жить и оформить гражданство?
Ваша мама вправе получить вид на жительство и подать заявление на принятие гражданства в упрощенном порядке, поскольку имеет сына гражданина РФ.
Срок рассмотрения заявления на принятие гражданства в упрощенном порядке до трех месяцев, со дня подачи заявления и всех необходимых документов. (ст.35 Федерального закона от 31 мая 2002 г. N 62-ФЗ)
Подойдет разновидность обыкновенной визы
Более подробно о визах в Постановлении Правительства РФ от 09.06.2003 N 335, по ссылке https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_42658/f3eb9a39d256788dbc26954ca3b9f451d6714e10/