Вопрос такой, смогут ли они вновь начать взыскивать оставшиеся части долга, после уплаты мной первой части

Здравствуйте.

смогут ли они вновь начать взыскивать оставшиеся части долга, после уплаты мной первой части

 можно точнее вопрос сформулировать? Вы хотите полностью сумму по исполнительному производству оплатить или что? Коллекторы смогут взыскать лишь ту часть задолженности, которая передана им для взыскания. Если договор между Вами и кредитором не расторгнут, то для взыскания иных сумм, которые не указаны в рамках ИП, надо будет взыскателю снова обращаться в суд с иском. В силу ст. 319 ГК РФ

Сумма произведенного платежа, недостаточная для исполнения денежного обязательства полностью, при отсутствии иного соглашения погашает прежде всего издержки кредитора по получению исполнения, затем — проценты, а в оставшейся части — основную сумму долга.

Здравствуйте, коллекторское агентство заключает договор цессии, т.е. договор уступки права денежного требования с организацией, которой Вы были должны. Заключают указанный договор с  с организацией, которой Вы были должны, эта организация фактически «продает» Ваш долг другим лицам.

В соответствии с ч. 1 ст. 388 ГК РФ

уступка требования кредитором другому лицу допускается, если она не противоречит закону, иным правовым актам или договору.

При этом,рекомендую Вам уточнить, правомочны ли указанные Вами лица взыскивать задолженность, потребуйте представить доказательства. при этом, в случае подтверждения факта уступки права требования, ои имеют право взыскивать с Вас долг даже в том случае, если Вы не собираетесь оплачивать его в добровольном порядке

Здравствуйте, Андрей!

С КА никихих договоров не подписывал.

 При переуступки прав требований, Согласие должника — не требуется.

взыскивает часть долга от 2013 года через судебных приставов.

 Видимо, взыскание осуществляется в рамках возбужденного исполнительного производства, так как приставы работают, исключительно, с исполнительными документами.

смогут ли они вновь начать взыскивать оставшиеся части долга, после уплаты мной первой части

 Тут не понятно, что Вы имеете в виду: что это за первая часть долга и  что за последующие части задолженности? Можете это пояснить? А лучше — пришлите еще и скан исполнительного документа.