Нотариус сказал не писать в Свидетельстве о праве на наследство моего брата, потому что у него другая фамилия. Мне следует последовать совету нотариуса?

Не совсем понятно. Если брат подтвердил родство с умершим наследодателем, то фамилия не имеет значения.

 Статья 1142. Наследники первой очереди

1. Наследниками первой очереди по закону являются дети, супруг и родители наследодателя.
2. Внуки наследодателя и их потомки наследуют по праву представления.

Статья 1143. Наследники второй очереди

1. Если нет наследников первой очереди, наследниками второй очереди по закону являются полнородные и неполнородные братья и сестры наследодателя, его дедушка и бабушка как со стороны отца, так и со стороны матери.