Если в течение пяти лет не посещал институт и не оплачивал могут ли с него взыскать сумму оплаты за институт

Добрый вечер! Вы не написали заявление на отчисление. Из этого и следует, что не получали Вы образовательные услуги не по вине университета, а по собственной воли, что и дает ему право требовать с Вас выплату. Так по смыслу ст, 781 ГК РФ:

2. В случае невозможности исполнения, возникшей по вине заказчика, услуги подлежат оплате в полном объеме, если иное не предусмотрено законом или договором возмездного оказания услуг.