Сын закончил 10 классов, должен ли он учиться дальше, ему 17 лет и хочет переехать в другой город

В соответствии с ФЗ Об образовании по общему правилу обязательно такое образование.

Ст. 66

5. Начальное общее образование, основное общее образование, среднее общее образование являются обязательными уровнями образования. Обучающиеся, не освоившие основной образовательной программы начального общего и (или) основного общего образования, не допускаются к обучению на следующих уровнях общего образования. Требование обязательности среднего общего образования применительно к конкретному обучающемуся сохраняет силу до достижения им возраста восемнадцати лет, если соответствующее образование не было получено обучающимся ранее.
Но в соответствии с п. 6 данной статьи допускается, что несовершеннолетний может не продолжать обучение в школе, если ему исполнилось 15 лет.

6. По согласию родителей (законных представителей) несовершеннолетнего обучающегося, комиссии по делам несовершеннолетних и защите их прав и органа местного самоуправления, осуществляющего управление в сфере образования, обучающийся, достигший возраста пятнадцати лет, может оставить общеобразовательную организацию до получения основного общего образования. Комиссия по делам несовершеннолетних и защите их прав совместно с родителями (законными представителями) несовершеннолетнего, оставившего общеобразовательную организацию до получения основного общего образования, и органом местного самоуправления, осуществляющим управление в сфере образования, не позднее чем в месячный срок принимает меры по продолжению освоения несовершеннолетним образовательной программы основного общего образования в иной форме обучения и с его согласия по трудоустройству.

Но это касается тех моментов, когда ребёнок не закончил 9 классов. Если окончил их, далее уже совместно с родителями может выбрать дальнейшую форму обучения.