Можно ли при этом оставаться самозанятой в России и как будут обстоять дела с налогами в обеих странах?

Анастасия, добрый вечер!

Да, Вы можете и в случае регистрации в качестве ИП в Грузии платить в России НПД с доходов, получаемых от оказываемых Вами копирайтерских услуг. Это не запрещено/не ограничено законодательством РФ, в т.ч. Федеральным законом «О проведении эксперимента по установлению специального налогового режима „Налог на профессиональный доход“ от 27.11.2018 N 422-ФЗ.

Платить налог Вы будете как в России, так и в Грузии. При этом налог платите со всего дохода, получаемого в России и Грузии. Так, доходы, получаемые от оказания иностранным клиентам копирайтерских услуг (посредством регистрации ИП в Грузии), учитываете по НПД, т.е. с них также платите НПД. 

На данный момент Соглашение между Правительством Российской Федерации и Правительством Грузии об избежании двойного налогообложения и предотвращении уклонения от уплаты налогов в отношении налогов на доходы и имущество не действует, к тому же положения соглашений об устранении двойного налогообложения не распространяются на специальные налоговые режимы, одним из которых является НПД (пп. 6 п. 2 ст. 18 НК РФ). Т.е. зачет уплаченного налога в одной стране в налог другой страны не происходит.

Учтите, если Ваш доход в течение года превысит 2,4 миллиона рублей, то с суммы превышения нужно будет уплатить НДФЛ. В следующем году Вы снова сможете зарегистрироваться в качестве плательщика НПД.