Хотим продать эту квартиру и купить новую с доплатой

Здравствуйте!

Какой документ он должен подписать, чтобы ни он, ни его сын от первого брака не могли потом претендовать на эту квартиру?

1. Передачу денег оформите с мамой письменным договором дарения денег (на всякий случай — если вдруг муж передумает, вы сможете потом доказать происхождение денег).

2. С мужем вам нужно составить брачный договор (ст.40 СК РФ). В нем вы сможете прописать все нужные вам условия. Обратитесь к нотариусу. 

Добрый день, Елена.

Согласно статье 34 Семейного кодекса РФ имущество, нажитое супругами во время зарегистрированного  брака, является их совместной собственностью.

Раздел общего имущества супругов может быть произведен как в период брака, так и после его расторжения по требованию любого из супругов, а также в случае заявления кредитором требования о разделе общего имущества супругов для обращения взыскания на долю одного из супругов в общем имуществе супругов.
Общее имущество супругов может быть разделено между супругами по их соглашению. Соглашение о разделе общего имущества, нажитого супругами в период брака, должно быть нотариально удостоверено.

Необходимо заключить брачный договор.

Остались вопросы пишите, в случае если мой  ответ был Вам полезен, прошу оставить положительный отзыв.
Хорошего дня.

Самый легкий и вполне перспективный вариант — это брачный договор, там можно будет все это указать. Это между вами супругами

Договор дарения и супружеское соглашение об отказе (если имущество общее между вами и супругом). 

ни его сын от первого брака

 Здесь важно уточнение. Ребенок от первого брака является совершеннолетним (или не является)? Он прописан в квартире? Была ли выделена доля на него (на сына)?