Бывший муж подал заявление в суд на время провождения с ребенком, на первый суд явился, на второй суд написал

Вероятнее всего у его супруги имеется юридическое образование, и доверенность он выписал на представление его интересов в суде. Это правомерно с точки зрения законодательства 

Согласно п. 2 ст. 49 ГПК РФ Представителями в суде, за исключением дел, рассматриваемых мировыми судьями и районными судами, могут выступать адвокаты и иные оказывающие юридическую помощь лица, имеющие высшее юридическое образование либо ученую степень по юридической специальности.