Могу ли я подать жалобу повторно, какие причины можно указать (или на что сослаться) при оформлении ходатайства о продлении срока рассмотрения дела, в какие сроки можно подать такое ходатайство?

Здравствуйте, Сергей!
Вы можете подать новую жалобу на постановление об административном правонарушении вместе с ходатайством о восстановлении срока на обжалование.

Согласно ч.2 ст.30.3 КоАП РФ в случае пропуска срока, предусмотренного частью 1 настоящей статьи, указанный срок по ходатайству лица, подающего жалобу, может быть восстановлен судьей или должностным лицом, правомочными рассматривать жалобу.
Можете к ходатайству приложить копию определения о возврате жалобы в связи с тем, что нет вашей подписи, возможно, суд встанет на Вашу сторону и посчитает это уважительной причиной, гарантий конечно, нет. Что касается сроков подачи повторной жалобы в Вашем случае, то с этим лучше не затягивать, это тоже может повлиять на мнение суда.

Желаю удачи!