Может ли банк потребовать неустойку если просроченная задолженность оплачена

Здравствуйте, Таня!

Да, может. С оплатой суммы основного долга, пени перестанут расти, но начисленные останутся и банк сможет требовать с Вас их оплаты. 

Согласно п. 1 ст. 330 ГК РФ неустойкой (штрафом, пеней) признается определенная законом или договором денежная сумма, которую должник обязан уплатить кредитору в случае неисполнения или ненадлежащего исполнения обязательства, в частности в случае просрочки исполнения. По требованию об уплате неустойки кредитор не обязан доказывать причинение ему убытков.

Желаю Вам удачи!