Или автоматически квартира становится мужа?

Если он у мужа отцом не записан, то муж будет наследником как пасынок при условии что у этого отчима нет более близких родственников. 

Статья 1145. Наследники последующих очередей
3. Если нет наследников предшествующих очередей, к наследованию в качестве наследников седьмой очереди по закону призываются пасынки, падчерицы, отчим и мачеха наследодателя.

Нет автоматически наследство не переходит, для его получения его  наследство нужно принять путем обращения к нотариусу.

1. Принятие наследства осуществляется подачей по месту открытия наследства нотариусу или уполномоченному в соответствии с законом выдавать свидетельства о праве на наследство должностному лицу заявления наследника о принятии наследства либо заявления наследника о выдаче свидетельства о праве на наследство.

 
Если заявление наследника передается нотариусу другим лицом или пересылается по почте, подпись наследника на заявлении должна быть засвидетельствована нотариусом, должностным лицом, уполномоченным совершать нотариальные действия (пункт 7 статьи 1125), или лицом, уполномоченным удостоверять завещания в соответствии с пунктом 1 статьи 1127 настоящего Кодекса.

(в ред. Федерального закона от 03.04.2023 N 101-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
 
Принятие наследства через представителя возможно, если в доверенности специально предусмотрено полномочие на принятие наследства. Для принятия наследства законным представителем доверенность не требуется.

 
Как установить факт принятия наследстваКак подать заявление в суд об установлении факта принятия наследства
2. Признается, пока не доказано иное, что наследник принял наследство, если он совершил действия, свидетельствующие о фактическом принятии наследства, в частности если наследник:

 
вступил во владение или в управление наследственным имуществом;

 
принял меры по сохранению наследственного имущества, защите его от посягательств или притязаний третьих лиц;

 
произвел за свой счет расходы на содержание наследственного имущества;

 
оплатил за свой счет долги наследодателя или получил от третьих лиц причитавшиеся наследодателю денежные средства.

 
3. Принятие наследства наследственным фондом осуществляется в порядке, предусмотренном пунктом 2 статьи 123.20-8 настоящего Кодекса.