Чем это грозит при вступлении в наследство?

Завещание от 2004 г. Я не знаю, было ли нужно тогда указывать дату рождения наследника. И что можно сделать сейчас, когда человек умер?

В эти годы даты рождения писалась в завещании.

 Поэтому практически наверняка нотариус вас отправит в суд, доказывать факт принадлежности вам этого завещания. Ст. 264 ГПК РФ. 

 Статья 1132. Толкование завещания

При толковании завещания нотариусом, исполнителем завещания или судом принимается во внимание буквальный смысл содержащихся в нем слов и выражений.
В случае неясности буквального смысла какого-либо положения завещания он устанавливается путем сопоставления этого положения с другими положениями и смыслом завещания в целом. При этом должно быть обеспечено наиболее полное осуществление предполагаемой воли завещателя.