Можно ли сделать экспертизу отцовства нынешнего гражданского супруга, тем самым доказать в суде что отец не бывший муж и через суд добиться получения статуса матери-одиночки?

Здравствуйте, Алексей!

 
Согласно п.2 ст.48 Семейного кодекса РФ, если ребенок родился от лиц, состоящих в браке между собой, а также в течение трехсот дней с момента расторжения брака отцом ребенка признается бывший супруг матери, если не доказано иное (статья 52 настоящего Кодекса). Отцовство супруга матери ребенка удостоверяется записью об их браке.
То есть, по общему правилу отцом ребенка, который родился в течение 300 дней с момента расторжения брака в свидетельство о рождении, записывается бывший супруг матери ребенка.
Для того чтобы в свидетельство о рождении ребенка был записан биологический отец ребенка мать ребенка или сам отец должны обратиться в суд с исковым заявлением об исключении записи об отце, произведенной в актовой записи о рождении в соответствии с п. п. 1 и 2 ст. 51 СК РФ, и внесении новых сведений об отце (то есть об установлении отцовства другого лица). (п.9 Постановления Пленума Верховного Суда РФ от 25.10.1996 N 9).
Как следует из п.1 ст.51 СК РФ запись родителей в книге записей рождений, произведенная в соответствии с пунктами 1 и 2 статьи 51 настоящего Кодекса, может быть оспорена только в судебном порядке по требованию лица, записанного в качестве отца или матери ребенка, либо лица, фактически являющегося отцом или матерью ребенка, а также самого ребенка по достижении им совершеннолетия, опекуна (попечителя) ребенка, опекуна родителя, признанного судом недееспособным.
То есть, порядок только судебный, несмотря на отсутствие спора между матерью ребенка  и бывшим супругом (абз.3 п.3 ст.47 ГК РФ).