Здравствуйте Наталья!
Апостиль проставляется органом, который выдал, в данном случае ЗАГС относится к Минюсту, туда и необходимо обращаться. В России его надо заверить у нотариуса и в этом же регионе обратится в Минюст для проставления апостиля.
МИНИСТЕРСТВО ЮСТИЦИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПРИКАЗ от 21 января 2015 г. N 8 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ МЕТОДИЧЕСКИХ РЕКОМЕНДАЦИЙ ПО ПРЕДОСТАВЛЕНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЙ УСЛУГИ ПО ПРОСТАВЛЕНИЮ АПОСТИЛЯ НА ОФИЦИАЛЬНЫХ ДОКУМЕНТАХ, ПОДЛЕЖАЩИХ ВЫВОЗУ ЗА ГРАНИЦУ17. В случае представления заявителем копии документа о регистрации акта гражданского состояния, выданного на территории республик бывшего СССР, верность которой засвидетельствована нотариусом Российской Федерации или лицом, уполномоченным совершать нотариальные действия в соответствии с законодательством Российской Федерации, апостиль на такой копии может быть проставлен в порядке, предусмотренном Административным регламентом, при условии, что документ о регистрации акта гражданского состояния выдан до 01.01.1992.
Возможно, что вам придется получать дубликат свидетельства о рождении в Грузии и там же его апостилировать. Так как Грузия на документы выданные в СССР апостиль не ставит.
Пожалуйста!