Как добиться возмещения ущерба за сломанную коронку из‑за камня в еде в закусочной?

Человек в первую очередь должен доказать, что зуб был поврежден именно в результате попадания в пищу инородного предмета. Для этого ему как минимум придётся произвести экспертизу. 

Ст. 56 ГПК РФ

1. Каждая сторона должна доказать те обстоятельства, на которые она ссылается как на основания своих требований и возражений, если иное не предусмотрено федеральным законом.

Закусочная не хочет ни чего делать и возмещать ущерб, какие действия?

 Не удивительно, что не хочет.

В добровольном порядке вряд ли этого можно добиться.

Можно обратиться по данному факту в суд.

Иск можно подать по месту вашего жительства или месту нахождения закусочной 

Если цена иска не более 100 000 р, то в мировой суд.

Госпошлина не платиться.

ГПК РФ Статья 55. Доказательства
  
1. Доказательствами по делу являются полученные в предусмотренном законом порядке сведения о фактах, на основе которых суд устанавливает наличие или отсутствие обстоятельств, обосновывающих требования и возражения сторон, а также иных обстоятельств, имеющих значение для правильного рассмотрения и разрешения дела.

 есть заключение врача. 

Заключения врача может быть недостаточно ( в нем, как я понимаю указан только факт повреждения)

В закусочной камеры наблюдения есть?

Свидетели происшествия были?

Можно было бы попробовать установить их через камеры наблюдения ( при наличии их и если например вы вынули коронку изо рта ) и данных о безналичном расчете.  Если вы были с знакомыми, то они могут подтвердить

Вам эти данный никто не выдаст.  Но через суд, путем подачи ходатайства можно попробовать их получить

Вывод: обратиться в суд можно. Но удастся ли доказать факт повреждения- не известно.