Может ли он, взяв данный договор, пойти с ним в МРЭО и переоформить машину на себя?

В договоре указано, что «данный договор является одновременно актом приема-передачи автомобиля». Если нужно, я могу составить дополнительный акт приема-передачи. А что такое «акт о погашении обязательств по аренде»? Обычная расписка?

У меня есть серьезные причины не оформлять с водителем дополнительно договор купли-продажи (хотя, это было бы, конечно, проще всего).

 Он не требуется.

Право собственности на автомобиль у него возникло на основании ранее заключенного договора аренды с правом выкупа. И исходя из ст. 624 ГК РФ произведя оплату выкупной цены, он получил на него право собственности.

Единственное для целей регистрации транспортного средства в ГИБДД на свое имя ему потребуется как сам договор, так и акт приема-передачи из которого усматривается, что ему переходит автомобиль на праве собственности в связи с полной оплатой выкупной цены.

Приказом МВД России от 21.12.2019 N 950 «Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации предоставления государственной услуги по регистрации транспортных средств»

указано, что в числе документов на регистрацию ТС передаются

27.4.1. Документы, удостоверяющие право собственности на транспортные средства, основные компоненты транспортных средств (кузов, кабину, раму)

К числу таких документов и будет отнесены договор аренды и составленный по результату его исполнения акт.