Какие обязанности у отца перед ребенком после развода по закону?

Добрый день. Согласно семейного кодекса, если он не лишен родительских прав, то у Вас и у него равные обязанности по воспитанию ребенка.

СК РФ Статья 61. Равенство прав и обязанностей родителей
  
1. Родители имеют равные права и несут равные обязанности в отношении своих детей (родительские права).

 2. Родительские права, предусмотренные настоящей главой, прекращаются по достижении детьми возраста восемнадцати лет (совершеннолетия), а также при вступлении несовершеннолетних детей в брак и в других установленных законом случаях приобретения детьми полной дееспособности до достижения ими совершеннолетия.

СК РФ Статья 63. Права и обязанности родителей по воспитанию и образованию детей
 

 1. Родители имеют право и обязаны воспитывать своих детей.

 
Родители несут ответственность за воспитание и развитие своих детей. Они обязаны заботиться о здоровье, физическом, психическом, духовном и нравственном развитии своих детей.

 
Родители имеют преимущественное право на обучение и воспитание своих детей перед всеми другими лицами.

2. Родители обязаны обеспечить получение детьми общего образования.

 
Родители имеют право выбора образовательной организации, формы получения детьми образования и формы их обучения с учетом мнения детей до получения ими основного общего образования.

СК РФ Статья 66. Осуществление родительских прав родителем, проживающим отдельно от ребенка  

 1. Родитель, проживающий отдельно от ребенка, имеет права на общение с ребенком, участие в его воспитании и решении вопросов получения ребенком образования.

 
Родитель, с которым проживает ребенок, не должен препятствовать общению ребенка с другим родителем, если такое общение не причиняет вред физическому и психическому здоровью ребенка, его нравственному развитию.

 
2. Родители вправе заключить в письменной форме соглашение о порядке осуществления родительских прав родителем, проживающим отдельно от ребенка.

 
Если родители не могут прийти к соглашению, спор разрешается судом с участием органа опеки и попечительства по требованию родителей (одного из них). По требованию родителей (одного из них) в порядке, установленном гражданским процессуальным законодательством, суд с обязательным участием органа опеки и попечительства вправе определить порядок осуществления родительских прав на период до вступления в законную силу судебного решения.

3. При невыполнении решения суда к виновному родителю применяются меры, предусмотренные законодательством об административных правонарушениях и законодательством об исполнительном производстве. При злостном невыполнении решения суда суд по требованию родителя, проживающего отдельно от ребенка, может вынести решение о передаче ему ребенка исходя из интересов ребенка и с учетом мнения ребенка.

 
4. Родитель, проживающий отдельно от ребенка, имеет право на получение информации о своем ребенке из образовательных организаций, медицинских организаций, организаций социального обслуживания и аналогичных организаций. В предоставлении информации может быть отказано только в случае наличия угрозы для жизни и здоровья ребенка со стороны родителя. Отказ в предоставлении информации может быть оспорен в судебном порядке.

Почитайте статью 66. Согласно этой статьи Вы можете через суд (при отсутствии обоюдного соглашения) возложить на бывшего супруга доп. обязанности (к примеру посещение с ребенком организаций дополнительного образования, секций и т.д.). При невыполнении им этих решений, к нему могут быть применены меры административного характера.