Могу ли я обратиться в миграционную службу с ходатайством о продлении регистрации?

Тимур, добрый день!

Поскольку Вы теперь пребываете в РФ незаконно, выехать из РФ следует. В противном случае Вас не только оштрафуют, но и выдворят по ч. 1.1 ст. 18.8 КоАП РФ https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34661/535af3a253c472402638b7696485e896a7866e5a/

Кроме того, в случае выдворения из РФ в отношении Вас примут решение о невъезде в РФ. Решение о невъезде в РФ также могут принять в зависимости от срока незаконного пребывания в РФ (ст.ст. 26, 27 Федерального закона от 15.08.1996 N 114-ФЗ «О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию»).

был ВНЖ закончился,

 На данный момент ВНЖ выдается бессрочно, за исключением некоторых случаев. При проживании еще на основании срочного ВНЖ необходимо было в течение действия срочного ВНЖ заменить такой ВНЖ на бессрочный в соответствии со ст. 2 Федерального закона от 02.08.2019 N 257-ФЗ. В связи с истечением срока действия срочного ВНЖ и незаменой его на бессрочный, находиться в РФ в дальнейшем нельзя.

Следовательно, оснований для нахождения в РФ и продления регистрации нет, Вам нужно выехать из РФ. Если не будет запрета на въезд в РФ, сможете вновь въехать в РФ и пребывать в России без соблюдения правила 90/180 на основании того, что у Вас есть ребенок-гражданин РФ, с условием, что он зарегистрирован по месту жительства (п. 10 ст. 5 Федерального закона от 25.07.2002 N 115-ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации» https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_37868/e9d581e7e11d7901295efd89c869ae044dd3d20f/). Во время пребывания в РФ сможете подать документы на ВНЖ.

Здравствуйте,

В Вашей ситуации, Вам действительно следует выезжать на 3 месяца и потом снова въезжать.

В силу ст.5 ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации» от 25.07.2002 N 115-ФЗ

Временно пребывающий в Российской Федерации иностранный гражданин обязан выехать из Российской Федерации по истечении срока действия его визы или иного срока временного пребывания...

У Вас нет оснований для продления срока вашего пребывания. ВНЖ Вы не продлили.

Если Вы работаете по трудовому договору, то об окончании ВНЖ Вы должны были сообщить своему работодателю и Вас должны были отстранить от работы, а в случае не предоставления продления ВНЖ, расторгнуть трудовой договор

Ст 327.5 ТК РФ работодатель обязан отстранить от работы (не допускать к работе) работника, являющегося иностранным гражданином или лицом без гражданства, в случае: 

окончания срока действия вида на жительство в Российской Федерации..

Продлить срок временного пребывания Вы сейчас не сможете даже на основании наличия членов семьи граждан РФ с постоянным местом жительства в РФ