Хотелось бы понять, есть ли возможность избежать такой дислокации, возможно, по состоянию здоровья или путем перевода в другой округ (если такое вообще предусмотрено)

Добрый лент. Что Вы понимаете под избежанием дислокации?

Отказ в выполении приказа о передислокации?

Добрый вечер.

Ввиду того, что речь идет о военнослужащем, проходящим службу по призыву, то в силу ст. 15 Положения о порядке прохождения военной службы

4. Военнослужащий, проходящий военную службу по призыву, переводится к новому месту военной службы без его согласия.

Перевод его на основании поданного им рапорта в иное подразделение по его личной просьбе — тут исключена, поскольку возможность такого перевода предоставлена военнослужащим, проходящим службу по контракту

1. Военнослужащий может быть переведен к новому месту военной службы из одной воинской части в другую 
в следующих случаях:
г) по семейным обстоятельствам по личной просьбе (для военнослужащих, проходящих военную службу по контракту);
д) по личной просьбе (для военнослужащих, проходящих военную службу по контракту);

Допустим его перевод по состоянию здоровья, но при условии, если будет вынесено соответствующее заключение ВВК о невозможности прохождения военной службы в местности, куда он переводится.

Приказом Министра обороны РФ от 16.01.2001 N 30 «Об утверждении Руководства по комплектованию Вооруженных Сил Российской Федерации солдатами, матросами, сержантами и старшинами» оговорено, что 

79. Солдаты, матросы, сержанты и старшины, признанные военно-врачебной комиссией годными к военной службе или годными с незначительными ограничениями, но негодными к военной службе по конкретной ВУС, назначаются на воинские должности, обязанности по которым они могут исполнять с учетом состояния здоровья. Если в воинской части отсутствуют такие воинские должности, то военнослужащие подлежат переводу в другие воинские части.