И имеет ли право работадатель меня уволить, если я не продлеваю регистрацию?

Здравствуйте,

Согласно п. 5 ст. 97 Договора о Евразийском экономическом союзе от 29 мая 2014 года срок временного пребывания (проживания) трудящегося государства-члена на территории государства трудоустройства определяется сроком действия трудового или гражданско-правового договора, заключенного трудящимся государства-члена с работодателем или заказчиком работ (услуг). 

То есть, если у Вас действующий трудовой договор, то и находитесь в РФ Вы легально. Но регистрацию на основании действующего трудового договора продлить надо. Причём сделать это надо было до окончания срока последней регистрации. Возможно привлечение к ответственности по ст.18.8 КоАП. 

Но оснований для расторжения с Вами трудового договора нет. 

Граждане Белоруссии, Армении, Казахстана и Киргизии (граждане стран ЕАЭС) могут продлить миграционный учет по трудовому договору на срок до 1 года. То есть, если у них есть действующий трудовой договор, то разрешенный срок пребывания продляется на срок действия договора, но не более чем на 12 месяцев.