Как можно выйти из этой ситуации?

Добрый день.

Счет как таковой является техническим документом.

В соответствии со статьей 210 ГК РФ

Собственник несет бремя содержания принадлежащего ему имущества, если иное не предусмотрено законом или договором.

Соответственно, если собственник один — он и должен оплачивать услуги ЖКХ.

На данный момент, поскольку собственника, исходя из вопроса, нет, т.к. никто не вступил в наследство — никто не должен оплачивать коммунальные платежи и на период с момента гибели бывшего собственника до момента вступления в наследство нового собственника, коммунальные платежи оплате не подлежат.

Однако долги умершего переходят вместе с квартирой новому собственнику и их оплатить придется.

После того, как кто-то будет являться собственником квартиры — можно будет обратиться с заявлением к ресурсоснабжающим организациям о переоформлении счета.

Если требуется подробная консультация, сопровождение ситуации и подготовка любых документов по ней — можете обратиться в личный чат, общение в котором — бесплатно.

Здравствуйте! Нужно руководствоваться 

ЖК РФ Статья 155. Внесение платы за жилое помещение и коммунальные услуги

8. Собственники помещений в многоквартирном доме, осуществляющие непосредственное управление таким домом, вносят плату за жилое помещение и коммунальные услуги в соответствии с договорами, заключенными с лицами, осуществляющими соответствующие виды деятельности.

один из которых заявился на вступление в наследство, но не принял его, на связь не выходит, по счетам не платит. 

Если все договора оформлены на Вас и счета фактически нельзя разделить, то придется оплачивать долги, чтобы не ограничили подачу ресурсов, а затем уже взыскивать с сособственника средства через суд.