С помощью чего я могу остаться в России без выездов, как иностранный гражданин?

Здравствуйте, срок нахождения в России зависит от Вашей цели пребывания на территории РФ.

Если трудоустройство, то для продления пребывания необходим трудовой договор с организацией на срок, превышающий Ваш патент, для его продления, либо разрешение на работу. 

В силу п. 8.3 ст. 13  Федерального закона  от 25.07.2002 N 115-ФЗ  «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации»: Иностранный гражданин, прибывший в Российскую Федерацию в целях, не связанных с осуществлением трудовой деятельности, в порядке, не требующем получения визы, имеет право без выезда за пределы Российской Федерации изменить цель визита в Российскую Федерацию для осуществления трудовой деятельности в соответствии с настоящим Федеральным законом.

То есть, если ваша цель пребывания была не трудоустройство, впоследствии  Вы также можете уточнить цель  своего пребывания как трудовую деятельность позже, не покидая Россию.

В таком случае временное пребывание можно продлить на год с даты въезда в Россию (п. 10 ст. 5 Федерального Закона № 115)