Может ли он вступить в наследство после истечения срока и что для этого нужно?

Добрый день, может. 
Есть два возможных варианта: 

1. Обратиться в суд с исковым заявлением о восстановлении срока на принятия наследства и признании права собственности на наследственное имущество. 

В соответствии с пунктом 1 статьи 1155 Гражданского кодекса Российской Федерации: «По заявлению наследника, пропустившего срок, установленный для принятия наследства (статья 1154 Кодекса), суд может восстановить этот срок и признать наследника принявшим наследство, если наследник не знал и не должен был знать об открытии наследства или пропустил этот срок по другим уважительным причинам и при условии, что наследник, пропустивший срок, установленный для принятия наследства, обратился в суд в течение шести месяцев после того, как причины пропуска этого срока отпали».

В данном случае необходимо доказать причины уважительности пропуска срока: длительная болезнь и тд. 

2. Обратиться в суд с исковым заявлением об установлении факта принятия наследства.

Статья 1153 ГК РФ: Признается, пока не доказано иное, что наследник принял наследство, если он совершил действия, свидетельствующие о фактическом принятии наследства, в частности если наследник: вступил во владение или в управление наследственным имуществом; принял меры по сохранению наследственного имущества, защите его от посягательств или притязаний третьих лиц; произвел за свой счет расходы на содержание наследственного имущества; оплатил за свой счет долги наследодателя или получил от третьих лиц причитавшиеся наследодателю денежные средства.