Подскажите, каким образом может прописаться мать с ребенком в купленном ею доме?

Здравствуйте, Антон.

В соответствии с Постановлением Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации…»:

28. Регистрация по месту жительства несовершеннолетних граждан, не достигших 14-летнего возраста и проживающих вместе с законными представителями (родителями, усыновителями, опекунами), осуществляется на основании заявления установленной формы о регистрации по месту жительства, документов, удостоверяющих личность законных представителей (родителей, усыновителей, опекунов), или документов, подтверждающих установление опеки, и свидетельства о рождении этих несовершеннолетних. Указанная регистрация осуществляется с выдачей свидетельства о регистрации по месту жительства.

Поэтому, регистрация осуществляется на основании заявления установленной формы о регистрации по месту жительства, документов, удостоверяющих личность законных представителей (родителей), то есть, согласия обоих не требуется.

В силу ч. 2 ст. 20 ГК РФ, местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.

Несовершеннолетние дети приобретают право на ту жилую площадь, которая определяется им в качестве места жительства .

По смыслу указанных норм права дети вправе проживать как по месту жительства матери, так и по месту жительства отца, приобретают право на жилую площадь, определяемую им в качестве места жительства соглашением родителей, форма которого законом не установлена. Заключение такого соглашения, одним из доказательств которого является регистрация ребенка в жилом помещении, выступает предпосылкой приобретения ребенком права пользования конкретным жилым помещением, могущего возникнуть независимо от факта вселения ребенка в такое жилое помещение, поскольку несовершеннолетние дети не имеют возможности самостоятельно реализовывать право на вселение, равно как и на выселение.

Таким образом, мать вправе обратиться о регистрации  своего ребенка в свое жилое помещение.

Здравствуйте Антон! 

Чтобы прописаться в квартире, нужно обратиться в паспортный стол (территориальное отделение Федеральной миграционной службы), МФЦ, в управляющую компанию вашего дома (в некоторых из них есть паспортные столы), подразделение ГУВМ МВД.
Также заявление на регистрацию по месту жительства можно подать через портал Госуслуг. В ответ придет уведомление: вам предложат прийти в орган регистрационного учета с оригиналами документов.

Осуществить регистрацию ребенка в квартире можно при условии наличия регистрации у родителей в этой квартире. Согласие собственника, а тем более остальных зарегистрированных лиц не требуется. Данное правило подтверждается и Постановлением Пленума Верховного Суда РФ от 02.07.2009 N 14 «О некоторых вопросах, возникших в судебной практике при применении Жилищного кодекса Российской Федерации».

Надеюсь моя консультация оказалась Вам полезной! 
P.S. При необходимости предоставлю более развёрнутый и аргументированный ответ, со ссылками на закон. 

В случае возникновения дополнительных вопросов обращайтесь в мой чат буду рада помочь в их решении! 

Всего Вам доброго и скорейшего разрешения ситуации! 

Оформляю документы всех видов и провожу правовую оценку любых документов. 

При регистрации ребенка по месту жительства одного из родителей при раздельном проживании родителей и отсутствии соглашения между ними в порядке ст. 65 СК РФ  или судебного решения об определении места жительства ребенка с одним из родителей необходимо предоставить паспорта обоих родителей или согласие отца ребенка на регистрацию ребенка по адресу заявителя (матери).

Если отец ребенка паспорт для регистрации ребенка к матери не предоставляет, согласие на регистрацию ребенка к матери также не дает, регистрировать ребенка по месту жительства матери надо будет в судебном порядке.