Или нужно нотариальную доверенность?

Здравствуйте.

В данном случае решение суда абсолютно законно.

Если квартира муниципальная, то вселенные туда лица сохраняют право пользования этой квартирой только если проживают там.

Если он сам добровольно выехал из квартиры и не жил там, то он утратил право пользования и подлежал снятию с регистрационного учета на основании ч. 3 ст. 83 ЖК РФ.

3. В случае выезда нанимателя и членов его семьи в другое место жительства договор социального найма жилого помещения считается расторгнутым со дня выезда, если иное не предусмотрено федеральным законом.

К сожалению, восстановить право пользования этим жилым помещение уже не получится.

Законно ли выписывать в никуда и не поставив в известность?

 Да, законно. У суда нет обязанности решать вопрос о прописке в другое жилое помещение, т.к. суд выносит решение только в рамках заявленных исковых требований. Вашему мужу направлялись повестки по адресу регистрации. Суд в данной ситуации, направив повестку по месту регистрации вашего супруга либо в Госуслуги, выполнил свою обязанность по уведомлению вашего супруга. То, что супруг не получил данную повестку, это его ответственность (ст. 165.1 ГК РФ)

Сообщение считается доставленным и в тех случаях, если оно поступило лицу, которому оно направлено (адресату), но по обстоятельствам, зависящим от него, не было ему вручено или адресат не ознакомился с ним.

Они ведь должны были подать в розыск?

 Нет, в розыск суд не обязан подавать, т.к. он руководствуется ответом из миграционной службы, где указано, что муж зарегистрирован по такому-то адресу.

Или же связаться с ближайшими родственниками? тем более у него есть прямая наследница несовершеннолетняя дочь.

 Его дочь к муниципальному имуществу не имеет никакого отношения, т.к. муниципальное имущество не передается по наследству. Эта квартира не принадлежит вашему супругу и наследством не является. Искать родственников? На каком основании?

Куда и как писать иск в суд ?

 Пишут не иск, а апелляционную жалобу. В вашем случае нужно будет сначала подать ходатайство о восстановлении пропущенного процессуального срока на подачу апелляционной жалобы и саму жалобу одновременно через суд, вынесший данное решение. Сначала суд рассмотрит ваше ходатайство о восстановлении срока и если восстановит его, то жалоба будет направлена в вышестоящий Областной суд.

В какой суд подавать апелляционную жалобу указано в самом решении суда.

Как возвращать и доказывать право пользования жилым помещением? Доказывать незаконное снятие с регистрационного учёта и отсутствие весомых аргументов?

 В вашей ситуации никаких аргументов нет, т.к. вы сами пишите, что 

в квартире не проживал, задолженность по коммунальным услугам 310 000р

 Если бы он хотя бы платил коммунальные ежемесячно, тогда можно было бы на что-то надеяться. В вашей же ситуации он не только коммуналку не платил, но даже и не проживал в квартире. Наверняка истец все эти вещи тщательно задокументировал. Обычно если человек проживает в квартире, то у него там есть вещи, он дружит с соседями, которые и подтверждают, что человек проживает. Не проживание может быть вынужденным, если например между нанимателями существуют какие-то разногласия либо человек временно выехал на работу заграницу. И даже в таком случае люди не проживая, проводят оплату. У вас же неоплата коммуналки показывает, что вы свои права потеряли.

Могу ли я на правах жены заниматься этим вопросом, в виду загруженности моего мужа на работе? Или нужно нотариальную доверенность?

 Пуст ваш муж выдает вам нотариальную доверенность на ведение дел в суде и занимайтесь его вопросом, но на 99% уверена, что вы ничего не добьетесь только потратите время и деньги