У него нет никаких документов, кроме свидетельства о рождении в Казахстане и временного удостоверения личности в РФ, из-за чего в МФЦ сказали, что нам в регистрации брака будет отказано

Здравствуйте! В вашей ситуации для регистрации брака важно, чтобы у обоих супругов были действующие документы, удостоверяющие личность. Свидетельство о рождении и временное удостоверение личности в России (например, справка о приёме документов на гражданство или паспорт) не являются достаточными для заключения брака.

Вам нужно:

Получить у молодого человека полный пакет документов:

Если у него нет гражданства РФ, а временное удостоверение выдано на основании его заявления на оформление статуса, ему необходимо дождаться получения паспорта или вида на жительство.
Если он является гражданином Казахстана и утратил паспорт, следует обратиться в консульство Казахстана в России для восстановления национального паспорта или получения временного документа, удостоверяющего личность.
Обратиться в консульство Казахстана в России:

Объяснить ситуацию и запросить выдачу временного удостоверения личности или восстановление национального паспорта. Это необходимо, чтобы подтвердить личность молодого человека.
Подготовить все необходимые документы:

Для граждан Казахстана, желающих заключить брак в России, необходим национальный паспорт, а также справка об отсутствии препятствий к заключению брака (такую справку можно получить в консульстве Казахстана).
Подать заявление в ЗАГС или МФЦ:

После получения всех документов, можно повторно обратиться в ЗАГС или МФЦ для подачи заявления на регистрацию брака.
Дополнительные рекомендации:
Если возникают трудности с восстановлением документов или оформлением статуса молодого человека, можно:

Обратиться к юристу по вопросам миграционного права.
Рассмотреть возможность заключения брака на территории Казахстана (если для этого больше документов у него сохранено).
Если нужна помощь в общении с госорганами или консульством, я могу подсказать более точные шаги или адреса нужных организаций.