Существует ли риск того, что на меня могут подать в суд за нарушение авторских прав, из-за того, что аббревиатура "ФиКС" похожа на слово "Фиксик", которое является товарным знаком?

Добрый день, Владислав
Вряд ли здесь есть риски, я не вижу сходства, можно еще посмотреть по классам МКТУ совпадение по направлениям деятельности, ознакомиться со схемой ведения вами бизнеса. Также Вам для защиты вашей деятельности имеет смысл зарегистрировать свой товарный знак — словесный, графический или смешанный. Готова ответить на ваши вопросы в рамках индивидуальной консультации, пишите в чат. 
Авторские, исключительные права, регистрация товарных знаков, бизнес — мои специализации. С уважением