И какие законы это регулируют, поскольку в договоре с ВУЦ ничего об этом не написано?

Нашел все-таки договор с ВУЦ, там написано, что при завершении обучения по программе бакалавриата и поступлении в магистратуру договор действует до окончания магистратуры, вопрос: Могу ли я отчислиться и получить при этом военный билет?

 Тут нужно смотреть условия Вашего договора.

Договор с ВУЦ у Вас мог быть заключен на основании Приказа Министра обороны РФ от 26.08.2020 N 400
«Об определении Порядка приема и обучения граждан Российской Федерации в военных учебных центрах при федеральных государственных образовательных организациях высшего образования»

которым определена одна из его примерных форм, в которой указывается

    В случае отчисления Гражданина из образовательной организации в связи с завершением  обучения  по  программе  бакалавриата   и   последующего   его зачисления  в  этом  же  году  для  обучения  по   программе   магистратуры в указанной в   Договоре   образовательной  организации  настоящий  Договор действует   до   окончания   Гражданином   обучения  по  программе  военной подготовки.

Поэтому нужно смотреть Ваш договор.

При завершении обучения в ВУЦ при указанной формулировке действует до окончания обучения в ВУЦ.

Обучение в ВУЦ у Вас заканчивается в связи с прохождением учебных сборов и итоговой аттестации.

102. Граждане, завершающие освоение программы военной подготовки, проходят итоговую аттестацию по программе военной подготовки в форме итогового междисциплинарного экзамена, в ходе которого устанавливается уровень теоретической и практической подготовки обучающихся для выполнения военно-профессиональных задач и соответствие их подготовки квалификационным требованиям.

И в таком случае обучение в ВУЦ завершено, что дает Вам возможность отчислиться из магистратуры и получить военный билет.