Можно ли и каким образом претендовать на его половину каартиры?

Здравствуйте, Анастасия!

Если Ваш отец не платит налог на имущество физических лиц за принадлежащие ему ½ доли в квартире, то право требовать у него оплату есть только у налогового органа. 

В этом случае претендовать на его долю у Вас нет.

Однако, если Вы оплачиваете коммунальные платежи (в том числе и за долю отца), то Вы вправе требовать с него возмещения убытков.

Для этого Вам нужно обратиться в суд с иском к отцу — собственнику доли, не оплачивающему квартплату, и взыскать с него в свою пользу его долю квартплаты, представив в суд все оплаченные квитанции, за период не более трехлетнего срока исковой давности с момента обращения в суд (ст. 196 ГК РФ ).