Т.е, возможно, как с товарным знаком есть варианты - при наличии разрешения от Заявителя при соблюдении технологии и пр

Добрый день, Ирина.

В соответствии с ч. 1 ст. 24 ФЗ  N 184-ФЗ «О техническом регулировании» 

При декларировании соответствия заявителем может быть зарегистрированные в соответствии с законодательством Российской Федерации на ее территории юридическое лицо или физическое лицо в качестве индивидуального предпринимателя, либо являющиеся изготовителем или продавцом, либо выполняющие функции иностранного изготовителя на основании договора с ним в части обеспечения соответствия поставляемой продукции требованиям технических регламентов и в части ответственности за несоответствие поставляемой продукции требованиям технических регламентов (лицо, выполняющее функции иностранного изготовителя).

Сертификацию, для производства продукции нужно будет проходить заново. Так как именно заявитель,  гарантирует соответствие продукции, указанной в сертификате.

Здравствуйте, Ирина!

Сертификатом соответствия, подтверждается  соответствие продукции требованиям технических регламента

То-есть сертификации проводится в отношении предоставленной для этого продукции

При этом сертификат соответствия включает в себя, в том числе 

наименование и местонахождение заявителя;

наименование и местонахождение изготовителя продукции, прошедшей сертификацию;

Более подробно см. ст.25 Закона №184-ФЗ по ссылке https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_40241/adc0dc4cdc53ead9305d074813a11549c4337ac2/

Подскажите, можно ли производить (именно производить, а не продавать) товары под чужим сертификатом 

Нет, так не получится. 

В сертификате  указывается  производитель, чья продукция была сертифицирована