Если сейчас у меня будет квартира, будет ли на нее иметь права не родной отец ребёнка?

Нет, неродной отец вашего ребёнка не будет иметь прав на вашу квартиру, если он юридически не связан с вами или вашим имуществом. 

Если квартира приобретена вами (на ваше имя), то она является вашей собственностью.
Неродной отец ребёнка не имеет на неё прав, так как он не состоит с вами в браке, не участвовал в её покупке (если это не доказано документально), не является наследником первой очереди (как супруг или ребёнок).
Единственное исключение — если вы решите подарить или переписать долю квартиры на ребёнка, тогда ребёнок может стать её совладельцем. В таком случае, если отец ребёнка вписан в метрики (свидетельство о рождении) как юридический отец, он может иметь право опекуна над долей ребёнка в случае вашей смерти или недееспособности. Но это не даёт ему права собственности.

если моя консультация была полезна, поставьте пожалуйста плюс за ответ. если нужна дополнительная консультация, напишите мне в чат.