Можно ли как-то сохранить квартиру?

Здравствуйте, самый очевидный выход попытаться участвовать в приватизации, чтобы было право собственности. 
Ещё один вариант, если у вас было право на приватизацию и вы от него отказались, тогда вас нельзя будет выписать.
В других вариантах новый собственник имеет право вас снять с регистрации. 

Добрый день.
При смерти собственника квартиры, не приватизированной, право на её сохранение могут иметь родственники, проживавшие с ним. Они могут обратиться за переоформлением договора социального найма, что позволит им продолжать проживание в квартире.

Вот несколько ссылок на законы и статьи по этому вопросу:

Кто наследник неприватизированной квартиры
Как унаследовать квартиру по договору социального найма?
Наследование неприватизированной квартиры При смерти собственника квартиры, не приватизированной, право на её сохранение могут иметь родственники, проживавшие с ним. Они могут обратиться за переоформлением договора социального найма, что позволит им продолжать проживание в квартире.
Нормы права:

Гражданский кодекс РФ:

Статья 1142 определяет очередность наследования, включая право на наследование неприватизированного жилья.

Жилищный кодекс РФ:

Статья 83 регулирует вопросы социального найма и возможность его переоформления на родственников.