2 Имеет ли школа право отказать в поступлении в 10 класс посреди учебного года?

Даниил, здравствуйте. 
Правила приема в государственные образовательные организации субъектов Российской Федерации и муниципальные образовательные организации на обучение по основным общеобразовательным программам должны обеспечивать прием в образовательную организацию граждан, имеющих право на получение общего образования соответствующего уровня и проживающих на территории, за которой закреплена указанная образовательная организация согласно пункту 3 статьи 67 Федерального закона от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 28.12.2024) «Об образовании в Российской Федерации».
В приеме в государственную или муниципальную образовательную организацию может быть отказано только по причине отсутствия в ней свободных мест, за исключением случаев, предусмотренных частями 5 и 6 указанной статьи и статьи 88 данного закона (пункт 4 статьи 67 Федерального закона от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 28.12.2024) «Об образовании в Российской Федерации»). 
В случае отсутствия мест в государственной или муниципальной образовательной организации Вам для решения вопроса о устройстве в другую общеобразовательную организацию необходимо будет обращаться непосредственно в исполнительный орган субъекта Российской Федерации, осуществляющий государственное управление в сфере образования, или орган местного самоуправления, осуществляющий управление в сфере образования согласно пункту 4 статьи 67 Федерального закона от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 28.12.2024) «Об образовании в Российской Федерации». 

Согласно подпункту а) пункта 2 статьи 24 Федерального закона от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 02.10.2024) «О воинской обязанности и военной службе» право на отсрочку от призыва на военную службу имеют граждане, обучающиеся по очной форме обучения в образовательных организациях по имеющим государственную аккредитацию образовательным программам среднего профессионального образования, — в период освоения указанных образовательных программ, но не свыше сроков получения среднего профессионального образования, установленных федеральными государственными образовательными стандартами. 

Уважаемый Даниил, здравствуйте! Дополню

1) Возьмут ли меня в школу г. Краснодар, если я прописан в Краснодарском крае, но в маленьком городке?

Согласно анализа положений п.1 — 4 ст. 67 Федерального закона от 29.12.2012 № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации», зачисление в образовательные организации осуществляется на основании заявления 

4. В приеме в государственную или муниципальную образовательную организацию может быть отказано только по причине отсутствия в ней свободных мест, за исключением случаев, предусмотренных частями 5 и 6 настоящей статьи и статьей 88 настоящего Федерального закона. В случае отсутствия мест в государственной или муниципальной образовательной организации родители (законные представители) ребенка для решения вопроса о его устройстве в другую общеобразовательную организацию обращаются непосредственно в исполнительный орган субъекта Российской Федерации, осуществляющий государственное управление в сфере образования, или орган местного самоуправления, осуществляющий управление в сфере образования.

www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_140174/16e2e6dcd017a68bc8b1a445142f9c86a69f3ffa/

При этом право на получение среднего общего образования (10–11 классы) не зависит от места регистрации.

Если школа имеет свободные места, она может принять учащегося из другого района или города
  

2) Имеет ли школа право отказать в поступлении в 10 класс посреди учебного года? Например, если я сейчас подам заявление, в феврале.

Да, школа имеет право отказать Вам в зачислении посреди учебного года на основании отсутствия свободных мест. Однако такой отказ должен быть обоснованным и оформлен письменно с указанием причины.

Если Вам откажут безосновательно, Вы можете подать жалобу в  департамент образования.
Важно!

Согласно статье 43 Конституции РФ, каждый гражданин имеет право на образование, а среднее общее образование является обязательным.

 4. Основное общее образование обязательно. Родители или лица, их заменяющие, обеспечивают получение детьми основного общего образования.

www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_28399/8452df644dd1f63f07ca7744f87beddac2947282/
 

3) Если мне сейчас откажут в поступлении по какой-либо причине, какие существуют механизмы защиты от призыва в армию, кроме причин по здоровью?

Отсрочка от призыва на срочную службу по семейным причинам.

Итак, если гражданин: (пп. «б» — «д», «и» п. 1 ст. 24 Закона N 53-ФЗ):

занят постоянным уходом за членом семьи, нуждающимся в таком уходе и не находящимся на полном государственном обеспечении, если отсутствуют другие лица, обязанные их содержать;
является опекуном или попечителем несовершеннолетнего родного брата или сестры при отсутствии других лиц, обязанных их содержать;
имеет ребенка и воспитывает его без матери;
имеет двух и более детей;
имеет ребенка-инвалида в возрасте до трех лет;
имеет ребенка и жену, срок беременности которой составляет не менее 22 недель.

---------

Кроме того — статья 59 Конституции РФ позволяет заменить военную службу альтернативной гражданской, если несение традиционной службы противоречит убеждениям или вероисповеданию призывника. Реальные случаи есть по данному основанию.

С уважением!