Или прям обязательно по месту прописки?

По общему правилу обратиться с заявлением об установлении отцовства можно в любой орган ЗАГС по вашему выбору (п. 2 ст. 6 Закона N 143-ФЗ).

Здравствуйте, Яна! Можно в любом ЗАГСе установить отцовство на основании статьи 48 Семейного кодекса РФ и требований п.2 ст.6, ст.48, 50-51 Федерального закона от 15 ноября 1997 г. N 143-ФЗ «Об актах гражданского состояния» путем подачи родителями ребенка совместного заявления об установлении отцовства. Согласно п.2 ст.6 Федерального закона от 15 ноября 1997 г. N 143-ФЗ «Об актах гражданского состояния»:

Государственная регистрация акта гражданского состояния производится любым органом записи актов гражданского состояния по выбору заявителей (заявителя) посредством составления в Едином государственном реестре записей актов гражданского состояния соответствующей записи акта гражданского состояния, на основании которой выдается свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния.

Согласно пункту 3 статьи 48 Семейного кодекса РФ:

Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи в орган записи актов гражданского состояния совместного заявления отцом и матерью ребенка; в случае смерти матери, признания ее недееспособной, невозможности установления места нахождения матери или в случае лишения ее родительских прав — по заявлению отца ребенка с согласия органа опеки и попечительства, при отсутствии такого согласия — по решению суда.