Нужно ли платить налог за сдачу в аренду квартиры на срок 10 месяцев?

Да, нужно, вне зависимости от срока заключения договора аренды, полученные доходы по нему подлежат декларированию. То есть такая обязанность не зависит от срока действия договора (срок договора аренды влияет только на обязанность его государственной регистрации). При этом договор сам по себе не является основанием для уплаты налогов, а только факт получения доходов по нему (произведенные расчеты с арендатором).